七年级数轴动点问题 · 动画演示 + 分类讨论全解（含第 3 问的"重合减速"变式）
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红点 = L = 1.5 的时刻。
MN 全程不变：N = −8 + t，M = −12 + t。 PQ 要分两段（t = 12 时在 C 处掉头）：
| 时间段 | P | Q | M | N |
|---|---|---|---|---|
| 0 ≤ t ≤ 12（Q 向右） | −22 + 3t | −20 + 3t | −12 + t | −8 + t |
| 12 ≤ t ≤ 24（Q 向左返回） | 50 − 3t | 52 − 3t | −12 + t | −8 + t |
CQ 是"Q 到 C 的距离"：CQ = 16 − (−20 + 3t) = 36 − 3t（t ≤ 12 时恒为正）。
PM 是"P 到 M 的距离"，要带绝对值：PM = |M − P| = |(−12 + t) − (−22 + 3t)| = |10 − 2t|。
| 情况 | 方程 | 解 | 是否在区间内 |
|---|---|---|---|
| 0 ≤ t ≤ 5（P 在 M 左边） | 36 − 3t = 10 − 2t | t = 26 | ✗ 舍去 |
| 5 < t ≤ 12（P 已超过 M） | 36 − 3t = 2t − 10 | t = 9.2 = 46/5 | ✓ |
验算：t = 9.2 时 Q = 7.6，CQ = 16 − 7.6 = 8.4；M = −2.8，P = 5.6，PM = 8.4 ✓
Q 掉头后跑到 C 的左边：CQ = Q − 16 = (52 − 3t) − 16 = 3t − 36；
PM = |(−12 + t) − (50 − 3t)| = |4t − 62|。
| 情况 | 方程 | 解 | 是否在区间内 |
|---|---|---|---|
| 15.5 ≤ t ≤ 24 | 3t − 36 = 4t − 62 | t = 26 | ✗ 超过 24 |
| 12 ≤ t < 15.5 | 3t − 36 = 62 − 4t | t = 14 | ✓ |
验算：t = 14 时 Q = 10，CQ = 6；M = 2，P = 8，PM = 6 ✓
动画页面上把 CQ、PM 两条"尺寸线"打开就能看到：到达这两个时刻时，两条线的长度会自动变成一样长，数字栏会亮成绿色 ✓。
| 时刻 | 发生了什么 | 怎么算出来的 |
|---|---|---|
| t = 4 | Q 追上 M，开始重合 | Q 在 −20、M 在 −12，相距 8；同向相对速度 3 − 1 = 2 → 8 ÷ 2 = 4 |
| t = 6 | P 追上 M（PQ 整段进入 MN，L 达到最大 2） | 已重合，速度变 1.5 与 0.5，相对速度 1；P 与 M 相距 2 → 2 ÷ 1 = 2 |
| t = 8 | Q 追上 N | 同上相对速度 1；Q 与 N 相距 2 → 2 秒 |
| t = 10 | P 追上 N，重合消失，速度恢复 3 与 1 | P 与 N 相距 2，相对速度 1 → 2 秒 |
| t = 15 | Q 到达 C(16)，掉头向左 | t = 10 时 Q 在 1，还要走 15 个单位 ÷ 3 = 5 秒 |
| t = 17.5 | P 追上 N，两条线段相向接触，再次重合 | P 在 14、N 在 4，相距 10；相向速度 3 + 1 = 4 → 10 ÷ 4 = 2.5 |
| t = 18.5 | Q 追上 N（L 再次达到 2） | 相向接近速度 1.5 + 0.5 = 2；Q 与 N 相距 2 → 1 秒 |
| t = 19.5 | P 追上 M（P 已越过 M，重合开始变小） | 接近速度 2；P 与 M 相距 2 → 1 秒 |
| t = 20.5 | Q 追上 M，重合消失，速度恢复 | 接近速度 2；Q 与 M 相距 2 → 1 秒 |
| t = 28.5 | Q 回到 A(−20)，全部停止 | t = 20.5 时 Q 在 4，走 24 个单位 ÷ 3 = 8 秒 |
| t 区间 | 重合部分 | L(t) | 变化速度（相对速度） |
|---|---|---|---|
| [4, 6] | 从 M 到 Q | t − 4 | 同向追及 1.5 − 0.5 = 1，L 由 0 升到 2 |
| [6, 8] | 整条 PQ ⊂ MN | 2 | 不变（最大就是 PQ 的长度 2） |
| [8, 10] | 从 P 到 N | 10 − t | 1，L 由 2 降到 0 |
| [10, 17.5] | 无 | 0 | PQ 在前方越走越远，直到掉头后才拉近 |
| [17.5, 18.5] | 从 P 到 N | 2(t − 17.5) | 相向接近 1.5 + 0.5 = 2，L 由 0 升到 2 |
| [18.5, 19.5] | 整条 PQ ⊂ MN | 2 | 不变 |
| [19.5, 20.5] | 从 M 到 Q | 41 − 2t | 2，L 由 2 降到 0 |
| 区间 | 方程 | 解 |
|---|---|---|
| [4, 6] | t − 4 = 1.5 | t = 5.5 |
| [6, 8] | L 恒为 2 | 无解 |
| [8, 10] | 10 − t = 1.5 | t = 8.5 |
| [17.5, 18.5] | 2(t − 17.5) = 1.5 | t = 18.25 |
| [18.5, 19.5] | L 恒为 2 | 无解 |
| [19.5, 20.5] | 41 − 2t = 1.5 | t = 19.75 |
这类"双动线段"题目的通用套路是：① 用"起点 + 速度 × 时间"写出每个端点的坐标（分段，掉头处是分界点）； ② 用两个端点的坐标差表示线段长度并加绝对值；③ 把"追上 / 相遇"翻译成相对速度，先锁定关键时刻，再在每一小段里做一元一次方程。 第 (3) 问多了一个"速度会变"的机关，只要抓住"相对速度决定重合长度怎么变"，它其实就是一道分段函数题。